とんがり帽子の男　　　　　　　　　

おう、天才だっていうのはわかった。
だったら１を聞いて１０を知ってくれ。
俺のアドバイスが何を意味するのか、理解してくれ。
先生がどうしてそんな問題を出したか理解するんだ。
今回の課題の(1)だが、前回の(1)の問題と大差ないな？
むしろ簡単になってる。不思議だと思わないか？
先生がそんな甘やかしをしてくれると思うか？
罠だよ、トラップだよ、似てるモンスターでも色が違うんだよ。
攻撃力や防御力が違う、あなどるな。
因数分解の剣だけじゃなく、約分の剣も置いてきちまったようだな？
こないだは約分する努力をしたのに、今回は約分しないのはどうしてだ？
こないだのモンスターが強すぎてひよったか？

わかってるようだな。やはり素質はあるのかな？
お手並み拝見。

ドリルのことだが、俺は良いドリルってのはしらない。
高校の時は毎日先生が手書きの問題を１０問ほど用意してくれてた。
全部問題と答え付きだったな。ノートに問題を貼って、解き方を書く。
解き方までは書いてないからな、次の日の朝提出して、
先生が全部チェックして返してくれてた。
答えが書いてあるから、その答えになるまで何度もやりなおしたりしてたな。
まあアレだ、天才にふさわしいドリルは知らない。
凡人の俺から言わせれば何でもいいから問題解いて、問題と解法晒して
みたらどうだ？幸い見てくれる先生（みならい先生）も居ることだし。
自分をぶつけるって意味でもな。
俺からは数をこなせとしか言えない。だって１回倒したことあるモンスター
なら次でてきても倒せる自信できるからな。

因数分解の逆が「約分」か。ありがたい。
たしかに自分でといて先生にみてもらうってのもアリだな。
あさみんは模試のあとそうしてた。
というか、もうすぐ俺、いなくなるんだよ。ネットから。
そんで今スピードアップな感じなんだ。
以前は以前で、数学一筋ってわけでもなくて、蛙の示してくれたのが
数学の近道だとは思ってても、兼ね合い上なかなかね。
自分のカリスマがマジで憎いよ・・

では約分。
(1) 2(x+1)/(x+1)^2
(2) 3x^2-2 e^x(x^2-2)

こういう問題は約分するもんなのだと覚えておくよ。

違うな。
因数分解の剣ってのはx^2+2x+1ってを(x+1)^2にする武器だ。
約分の剣ってのは3/6を1/2にする武器だ。
分数をみたら、できるだけ約分の剣を使うのは基本戦術だ。
(1)をもっと良くみるんだ。モンスターはまだ生きてるぞ。

(2)をもっと良くみてくれ。ここは剣とかそう言うレベルじゃない。
数学板でもかかれてることだが、カッコってのは重要だ。
俺が先生なら×だ。△をあげることができない。
ノートに書くときやテストに書くときは余裕があれば持ってる剣
見せびらかせ。（問題の下に公式を書いてみるんだ）ちゃんと剣
もってるってわかったら先生も時々大目にみてくれるぞ。

時間が無いのはわかった。だから先生がくるまでこのスレ付き合って
るじゃねぇかｗ先生きたらおさらばだ。
あさみんは偉いな、とんがり君もそうしたらどうだ？テストで間違った
とこを晒して、自分で解く。テストで間違ったところは剣をしっかり
使いこなせてないってことだからな。

(2)で言ってる公式を書くってのはアドバイスな。
ココではやるなよ？
反復練習にもなるし、理解してるってことを示すための作戦だからな。
カッコを使えってのはヒントだ。書きなおしたほうがいい。

それから試験ってのはボーナスステージだと思ってくれよ？
決してボス戦とか思わないでくれ。
なにせ自分のもってる武器を見せびらかし放題の上、点数っていう宝箱
までくれる。例え点数が低くてもそれはそれで宝箱だ。
そこまで理解してるっていうな。ただ試験終わったら次の街に行くってのは
ほぼ確定だ。だから次の街に行く前に倒せなかった敵は倒せるようにしないと
ダメだってことだ。

いやいや、とんがり君は受験生ではないぞ。
したがってテストのあとミーティングってこともない。
まあ、次からはサイト覗いて質問ってのもしてみたいけど、
それは自粛してた面があったからね。
なるべく先生に教えてもらうって姿勢だったし、先生もそうしたいっ
ておっしゃってくれてて。

でも、この公式使いましたみたいなサインはかなり有効だな。
教習所の声出し確認みたいで、教官好感触ってやつだな。

約分すなわち因数分解の逆のみならずってことね。
(1) 2/(x+1)
(2) 3 e^x(x^2-2)^2

ではどうか？

それからポイントだ。
因数分解の剣ってのは分解するっていうから一瞬勘違いしてしまいそうだが
共通因数でくくりだしてくっていう
x^2+2x+1を(x+1)^2にする剣だ。
その逆は展開の剣だ。(x+2)(x+4)=x^2+6x+8みたいにする武器だな。
こいつら２本は２本で１本だ。表裏一体みたいな感じだぞ。

ああそうか、じゃあ誤解だ。
というか、忘れちゃったんだろな。
そうそう、展開って言葉もあった。
因数分解⇔展開ね。

(2)を展開してみるんだ。
思ったとおりの答えになってたらあってるんじゃないか？

ああ、それとこれはもっとも重要だから聞いといてくれよｗ
俺はみならい先生みたいな専門に扱ってる人間でも数学の先生でもないから
正確性にかけるぞ。
間違ってても文句いわないでくれな♪ｗ

さっきのは忘れてください。

(3x^2-2) e^x(x^2-2)

これでどうか？

先生も専門は経済なんだけどな。
数学を塾で教えたりしてらしたそうだ。

つーか、(2)の答を展開？

3x^2 e^(x^3-2x) -2 e^(x^3-2x)

常接じゃないので一旦落ちるよ。
蛙ありがとう。世話かけるね。

いいんじゃないか？
確認するってのは大切だ。
倒したつもりのモンスターが死んでなくて、後ろ向いたとたんに
バッサリやられた嫌だからな。
余裕があったら死んでるか確認してやってくれ。

俺的にはいいと思う。あとで先生の詳しい解説があるはずだ。
きちんと聞いておさらいしてくれ。

いや、展開っていうのは答えのほうだよ。(2)の答えを展開したら
その前の形に戻るかっていいたかったんだよ。
確認をしてくれってことだったんだよ。

いや、気にするな。
むしろ俺が遊んでもらってるだけだｗ
暇つぶしってやつだな。
感謝するなら弱点を的確に出題してくれた先生のほうにな。

このスレ自体が先生への尽きることない感謝の泉みたいなもんだよ。
後に聞きたいんだが、これはケビン・コスナーなのか？
http://www.mainichi.co.jp/entertainments/geinou/0306/27-04.html

あっ。修正しやがった。>>439はスルーで。
さらばだ。

楽だな〜♪蛙の王様，毎度ありがとう．

念のため，解答を載せておきますね．

（１）　log(x^2+2x+1)

まず「z=x^2+2x+1」とすれば，「y=log(z)」と「z=x^2+2x+1」に分解できます．

　　ｘの変化によるｚの変化率は，dz/dx　=　2x+2

　　ｚの変化によるｙの変化率は，dy/dz　=　1/z

　　したがって総合の変化率は

　　　dy/dx　=　(2x+2)×(1/z)　=　2(x+1)/(x^2+2x+1) = 2/(x+1)

　　となる．

【別解】　x^2+2x+1=(x+1)^2より，log(x^2+2x+1)=2log(x+1)．したがって

　　［log(x^2+2x+1)］’　=　［2log(x+1)］’　=　2/(x+1)

（２）については，とくに因数分解する必要はないでしょう．

[exp(x^3-2x)]’　=　exp(x^3-2x) ×　(x^3-2x)’ =　(3x^2-2)exp(x^3-2x)

さて，自然対数の底「e」が「e=2.71828・・・」という値をとることは前に
述べました．この数値はどうやって計算されるのでしょう？

じつは，eの値は，次の公式を使って計算することができるのです：

　　e　=　1　+　(1/1!)　+　(1/2!)　+　(1/3!)　+　(1/4!)　+　・・・

ここで，「！」は「階乗」と呼ばれる数学記号で，例えば

　　4!　=　4×3×2×1　=　24

　　5!　=　5×4×3×2×1　=　120

と言う意味です．場合によっては「0!=1」と定義し，これを使って

　　e　=　(1/0!)　+　(1/1!)　+　(1/2!)　+　(1/3!)　+　(1/4!)　+　・・・

と書くことがあります．

きょうはこの公式（テイラー展開）の勉強をしますが，これはちょっと
高級な解析学では多用される，非常に役に立つ計算テクニックです．

この公式を使えば「exp(iπ)=-1」のような摩訶不思議な公式を導出
することができるのです．

テイラー展開の証明をする前に，上の計算が実際に「2.718・・・」にな
ることを示しておきます．

　　1/0!　=　1/1　=　1
　　1/1!　=　1/1　=　1
　　1/2!　=　1/2　=　0.5
　　1/3!　=　1/6　=　0.166666・・・
　　1/4!　=　1/24=　0.041666・・・
　　1/5!　=　1/120=0.008333・・・
−−−−−−−−−−−−−−−　
　　　　（合計）　　=　2.71666・・・

となって，第６項までの計算でもなかなか正確な値が得ら
れるようです．さらに項を増やしていけば，値はどんどん正
確になっていきます．

さて，この計算公式は，じつは次の「多項式近似」によって得られ
るのです．

　e^x　=　1　+　(x/1!)　+　(x^2/2!)　+　(x^3/3!)　+　・・・

この多項式近似を「e^xのテイラー展開」といいます．これに「x=1」
を代入すれば，上の計算公式が得られるわけです．

では，テイラー展開を導出しましょう．まず，指数関数e^xが，次の
多項式によって表されると天下りに決めてかかります．すなわち：

　e^x　=　A　+　Bx　+　Cx^2　+　Dx^3　+　Ex^4　+　・・・

この等式がすべてのｘで成り立つならば，当然「x=0」のときにも
両辺は等しいはずです．したがって「x=0」を代入すれば

　e^0　=　1　=　A

となって，あっさりとAの値が決定されてしまいます．

つぎにBの値を決めましょう．そのためにはどうすればいいかな？
５分ほど自分で考えてみてから，続きを読んでください．













考えた？

うまくBだけを取り出すには，微分を使えばいいのです．多項式近似

　　e^x　=　A　+　Bx　+　Cx^2　+　Dx^3　+　Ex^4　+　・・・

の両辺を微分すれば，「e^x」は微分しても変わりませんから

　　e^x　=　0　+　B　+　2(Cx)　+　3(Dx^2)　+　4(Ex^3)　+　・・・

となります．これに再び「x=0」を代入すれば，「B=1」が得られます．

こんどはCです．もう一度両辺を微分すれば

　　e^x　=　0　+　0　+　2×1×C　+　3×2×(Dx)　+　4×3×(Ex^2)　+　・・・

これに「x=0」を代入して「1=2×1×C」，すなわち「C=1/(2×1)」ですね．

以下同順です．両辺を微分しては「ｘ＝０」とすることにより，欲しい係数
だけを取り出すことが出来ます．自分でEまで求めてみて下さい．

どんな関数も，微分ができる滑らかなものならば，テイラー展開に
よって多項式近似が可能です．すなわち

f(x)　=　f(0)　+　(f'(0)/1!)　x　+　(f''(0)/2!)　x^2　+　(f'''(0)/3!)　x^3　+　・・・

が成り立つことが，e^xのばあいとまったく同じ論法で示されます．
自分でやってみてください．ただし，例えば「f'''(x)」は関数ｆを三回
微分した，と言う意味です．

今日の内容はとても高級ですが，この辺りからいよいよ数学らしく
なってくるのです．とんがり君が繋げるうちに，ぜひともここまでは
やりたいと思っていましたので，多少急ぎすぎてしまいました．

【問題】　関数「f(x)=log(1+x)」の多項式近似を計算してください．

大学に入ってすぐの数学の授業でテイラー展開を習った時には
興奮のあまり鼻血を吹きました．「近似」式を「厳密に」導出する
という一見矛盾した方法に，感動したのでしょう．

上の問題が難しかったら，次の問題を先にやった方が楽かも
しれません．

　　1/（1-x）　=　1　+　x　+　x^2　+　x^3　+　・・・

これも楽しい公式ですね．ただし，-1<x<1の範囲でしか成立しない
ことが知られています．

・とんがりは自堕落な天才である。
・テイラー展開は近似式を導出するが、e = 2.71828・・自体は、お　そらく近似値ではない。
・それは問を解くにあたっての前提であると考える。
・その前提が成立する根拠は、今のところ微分を重ねて得られる各係　数そのものである。

＞ Ｅの係数は？>>448
Ｅｘ^４ は４度の微分を経て ２４Ｅ となる。ここで「x=0」とすれ
ば、24E = 1
したがって、E = 1/24

＞ 1/（1-x）　=　1　+　x　+　x^2　+　x^3　+　・・・>>451
仮に x = 1/2 と代入してみると、左辺は 1÷(1/2) = 2
右辺は 1 + (1/2) + (1/4) + (1/8) + ・・・と、
左辺に無限に近似してゆくのが分かる。

>>450はちょいと待ってくだされよ。

ひょっとして金融屋がわくわくスレで愚痴ってんのは俺宛？
あんたにももちろん世話になったと思ってるよ。
ついては、俺が未来の娘さんの名付け親になろう。

命名「理疎奈」

数学板はラチがあかんな・・
この通じなさってなんなんだろうなあ・・

ああ、わたしもう一週間ほどいます。

朝から繋いで混乱して終わりか・・
もう寝よう・・

おう、やべぇなｗ
ものすごい強いモンスターでてきちまって正直ひよってしまいそうだぞ。
まさかテイラー展開がでてくるとは思わなかった。
今日は生徒になったつもりで遊んでみるか。

まずは整理だな、「テイラー展開の剣」ってのをつかうのか
f(x)　=　f(0)　+　(f'(0)/1!)　x　+　(f''(0)/2!)　x^2　+　(f'''(0)/3!)　x^3　+　・・・
こいつを使えば、微分できる問題は全部解けるというわけだな？
先生が言うには、あとは「微分の剣」を振りまわすだけだな？
なんだ「微分の剣」を振りまわすだけとは、らくしょーだな。
ぶんぶん振ってりゃいいな。ぶんぶんっ！！ぶんぶんっ！！

モンスターは「f(x)=log(1+x)」こいつだな。
log(1+x)の微分は前回やってた合成関数の微分ってやつだな。
g(x)=1+x　と考えてっと…
f'(x)
={log(g(x))のg(x)における微分}×｛(1+x)のxにおける微分｝
=1/(g(x))×1
=1/(1+x)
よーし出来た。ならもう一回「微分の剣」で斬ってみるぞ。
f''(x)ってのはf'(x)の結果を微分したらいいんだな？
ならば、またまた合成関数の微分だから
g(x)=x+1と置いてっと…
f''(x)
={1/(g(x))のg(x)における微分}×{(x+1)のxにおける微分}
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
＊ここでおさらいB^AのときBにおける微分はA{B^(A-1)}だった。
＊【例】x^3の微分が3x^2
＊ってやつだな。
＊このとき1/g(x)はg(x)^(-1)って置きかえれる。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
={(g(x)^(-1))のg(x)における微分}×{(x+1)のxにおける微分}
=(-1)g(x)^(-2)×1
=(-1)(x+1)^(-2)
ここで-2乗ってのが良くわからない奴もでてくるが天才なら問題ないだろ。
=(-1)/(x+1)^2
これだな。

f(x)とf'(x)とf''(x)が求まったな。
あと１個くらいやってみるか
f'''(x)
={f''(x)のxにおける微分}
={(-1)(x+1)^(-2)の微分}
g(x)=x+1とおいて（もう置き換えなくてもわかりそうだな）
={(-1)(g(x)^(-2))のg(x)における微分}×{(x+1)のxにおける微分}
さっきの***に囲まれた部分より
={(-1)×(-2)×(x+1)^(-3)}×{次から1な？何度もやったし}
=2(x+1)^(-3)
=2/(x+1)^3
だな。【数学板】での謎は解けたか？
ってことは、f''''(x)は同様に
2×(-3)(x+1)^(4)だな。
ならばn回微分したとき
{(-1)^n}(n!)(x+1)^(n+1)
になるな。【数学板】でみんなの言ってたことわかった？

たぶんこうなるんじゃないかなー。
あとは「テイラー展開の剣」にあてはめてやればいいってことじゃないか？
こっから先は自分でやってくれよな！

じゃあ俺のバトルはココで終了。

ＷＨＡＴ？

え？わかんなかった？

いや、お蔭でわかったよ。ありがとう。

そうか、ならよかった。
じゃあ答えをだして、みならい先生がくるのを待つんだ。
詳しい説明を聞いておさらいしてくれ。

のちほどこれで解いてみるが、なお疑問がある。
f'(x) を合成関数微分する意味は何か？
たしか、ただの微分でも結果は一緒なんだよね。
f'(x) = 1/(1+x) だね。
じゃあ　「f''(x) は？」の問に、あえて合成関数微分を用いるのはなぜなのか？
ただの微分でも一緒なら、そっちで解いたほうがラクだろ？
頓珍漢なこと言ってるかもしれんが。

1/(1+x)を微分するという武器をもってるならいいんじゃないか？
ただの微分で解くってなんだ？
答えが一緒なら、1/x=1/(1+x)とみなしていいといってるのか？
ちがうぞ？
たまたま答えが一緒なだけだ。なぜならg(x)のxにおける微分が1だから
たまたまそう見えるだけだ
f(x)=1/(1+x^2)なら合成関数の微分を用いて計算するだろ？
f(x)=1/xなら基本型だから、基本の武器を使えばいい。
f(x)=1/(x^2)なら合成関数の微分をつかう。
f(x)=1/(x+A)なら基本の武器で倒せる能力があるならそれでいいんじゃないか？

と、思うが質問してる部分がちがってたらごめんな。

蛙の王様，今日もありがとう．

>>452　うむ，いいですね．
1/(1-x)の証明は三通りありますが，テイラー展開を使うなら
f(x)=1/(1-x)として

　　f'(x)　=　1/(1-x)^2
　　f''(x)　=　2/(1-x)^3
　　f'''(x)　=　3×2/(1-x)^4
　　f''''(x)　=　4×3×2/(1-x)^5

と順次計算されるから（この計算は大丈夫？），

　　f(0)　=　1
　　f'(0)　=　1
　　f''(0)　=　2×1
　　f'''(0)　=　3×2×1
　　f''''(0)　=　4×3×2×1

したがってテイラー展開の公式より

　　f(x)　=　f(0)　+　f'(0)x　+　(f''(0)/2)x^2　+　(f'''(0)/3×2)x^3　+　・・・

　　　　　=　1　+　x　+　x^2　+　x^3　+　・・・

＞先生
＞関数「log(1+x)」の多項式近似

f(x) = log(1+x)
f(0) = 1
f'(0) = 1
f''(0) = -1
f'''(0) = 2
f''''(0) = -6

↑を以下に代入することにより、
f(x)　=　f(0)　+　(f'(0)/1!)　x　+　(f''(0)/2!)　x^2　+　(f'''(0)/3!)　x^3　+　・・・

以下の多項式近似が得られる。
log(1+x) = 1 + x + (-x^2/2) + (x^3/3) + (-x^4/4)

＞蛙
f'(x) = 1/(1+x) を更に微分するのに微分で十分なら微分で解けば
ラクだろうから、合成関数微分で解く必要ないんじゃないのってことだよ。
(1+x)^(-1) は微分で解けるだろ？

もうだめ。疲れ果てました・・

おつかれさま．

でも「f(0)　=　log(1+0)　=　0」ですね．ですから

　　log(1+x) = x　-x^2/2　+　x^3/3　-　x^4/4　+ ・・・

で正解です．これを使えば，たとえば

　　log(2) = 1　-1/2　+　1/3　-　1/4　+ ・・・　=　0.6931・・・

のように，いろいろなログの値が計算できます．

>>468　合成関数の微分を使わなくてもできるなら，使う必要は
ありません．しかし，厳密には，これは合成関数微分によって
計算されるべきものではあります．

つまり，「y=(1+x)^(-1)」については「z=1+x」として「y=z^(-1)」とし

　dy/dx　=　（dy/dz）×（dz/dx）　=　[-z^(-2)]×1　=　-(1+x)^(-2)

が得られます．

　しかし，数学の修練を十分に積めば，こんな計算をしなくても
ひと目で微分できるようになるわけです．

>>とんがり君
いいたかったことは>>471で先生が述べてるとおりだ。
自分でアレンジ済みの微分の剣をもってるなら
直感で1/(1+x)の微分が1/xの微分の答えと同じだとわかる。
とんがり君もきっとそうしたんだと思う。頭の中でかってに
合成関数の微分しただけなんだ。
実際は合成関数の微分の剣で斬るものだってことさ。

真・スレッドストッパー。。。(￣ー￣)ﾆﾔﾘｯ