リーマンがリーマン幾何学語る擦れ

投資の勉強をしていて面白いと思った命題を紹介します。直感というのは当てに
ならないものです。

以下のギャンブルを想定してください。
「ここに３つのドアがあり、そのうちの１つの後ろに賞金が置かれています。
あなたが一つのドアを選んだ後、第三者が残った２つのうち”ハズレ”のドアを
開けて見せたとします」
「さてあなたはここで選択を変えますか？」
という問題です。大抵の人はそのまま最初の選択肢を変えようとしません。なぜって
どちらも当たる確率は２分の１だから…。しかし正しくは変えるべきなのです。
最初に選んだドアが当たる確率は３分の１でもう一つは３分の２だからです。
これって直感に合いませんね。しかし嘘ではないのです。
モンティ・ホールのジレンマと呼ばれる２０年ほど前、米国で大議論になった
確率の問題です。ちょっと不思議じゃないですか？

スレ違い失礼。では、リーマン幾何学に戻してください。

>>49
面白い！！
>>49スレ違い失礼。
また書いて下さい。ちいともスレ違いじゃないです！
今後もよろしく！
講師が一人増えたようです。

＞48 勉強好きさん
はじめまして。
あっし頭は悪いんですが、訳のわからん理論や数式や
楽譜を眺めるのが好きという変な趣味をもってまして。
それにしても、どんな話題にもすらすらっとレス書けちゃう
勉強好き殿ってスゴイ。

日本が誇る数学者といえば、「フェルマーの最終定理」証明の
決め手となったという「谷山＝志村予想」の両氏の名前を思い出します。
楕円方程式がモジュラーなどという、全然わけわからんがスゴイ仕事。
結局ワイルズがガロア群論等を駆使して真と証明したわけで
これもまたスゴイ。

＞49　あっきーさん
なかなか興味深い問題ですね。
直感だと「なぜ選択を変えた方が良いのか」さっぱりわからんです。
A,B,CのうちAを選んでおいて、Cをオープンしてハズレだからといって
Aの当たる確率が1/3→1/2にあがる訳ではないことは納得いきますが・・・
ん、Bの当たる確率=Aが当たらない確率、それで2/3であるというわけですか？
なにか狐につままれた気分です。

Astor ◆Gj6yfJqI さんありがとう。
でも４７でのあなたのまとめは本当に見事！　単純にして明快！俺には出来ん。
恥ずかしい！　それを立ち読みでまとめてくるとは・・・

＞＞訳のわからん理論や数式や楽譜を眺めるのが好きと
俺と似ている（笑）。でもそれが知を愛するフィロソフィーかも。と都合よく解釈するのだ。

＞＞フェルマーの最終定理」証明の決め手となったという「谷山＝志村予想」・・・
楕円方程式がモジュラー
フェルマー問題はブルーバックスの本を読んだけど、ちっとも判らんかった。

>>51　Bの当たる確率=Aが当たらない確率、それで2/3であるというわけですか？
またまた俺の１歩先をいく見事なまとめ。
俺も今一よくわからん・・・情けな。

フィロソフィスト同士仲良くしような。
見事にまとめてまた教えてくれ。

やっぱり解せない>>49の話。だから興味が沸いてしまう。

>>51
>A,B,CのうちAを選んでおいて、Cをオープンしてハズレだからといって
>Aの当たる確率が1/3→1/2にあがる訳ではないことは納得いきますが・・・
これは単純に1/2に上がりませんか？
そのあとＢをオープンしてハズレたらいきなり1/1ですか？

Ｃをオープンしてハズレだったとき、
「さてあなたはここで選択を変えますか？」 とありますが、
「そこでわたしは選択を変えられるのですか？」っていうのが重要だと思う。
正直、選択を変えられるのなら、当たる確率は1/2だと思うのです。
２つの扉に当たりが一つ。どっちかを選べる。それだけ。
「Ｃをオープンしてハズレだった」という事象を目撃したかしないかで
当たる確率は変わりますか？

最初に選んだのがＡでＣのはずれが確定し、Ｂに選択変更の余地がないと
いうケースにちょっと複雑になるのかなと直感で思います。

Aが当たりの確率1/3
BかCが当たりの確率2/3

これは正しいでしょう。
ただし、Cのはずれが先に確定したのなら、
Aの当たり確率はあがり、BかCが当たりの確率は下がると思うのですが、どうなんでしょうね。

確かにピンと来づらい問題かもしれません。
この問題に関してはパターンが少ないので事象を全て挙げれば分かりやすいです。

３つの箱をＡ、Ｂ、Ｃとして、Ａが当たりだとします。１回目と２回目に選んだ
箱を（Ｂ，Ａ）と書いてみます。
１、箱を変えない場合
　　（Ａ、Ａ）当たり
　　（Ｂ、Ｂ）ハズレ
　　（Ｃ、Ｃ）ハズレ
　　よって、この場合は１／３の確率であたります。
２、箱を変える場合
　　（Ａ、Ｂ）ハズレ・・これは（Ａ、Ｃ）も同様です。
　　（Ｂ、Ａ）当たり
　　（Ｃ、Ａ）当たり
　　よって、この場合は２／３の確率で当たります。

ミクロ経済の勉強から
需要と供給のバランスが取れた状態が市場利益（取り引き者間の利益）が大きい。
↑ミクロ経済のごくごく初心者なので間違ってたらスイマセン。
会社のことも会社のペイ（お金＋α）と私のニーズ（お金、その他）の
バランスの取れた状態がお互いの円満関係になるのだろうか？

>>55
粘着ですいません。好きなんです。こういうの。

当たりがA
第一選択はAかB
第三者のはずれ明かしをC
とします。
（Cを選んでいることはありえない、
第三者のはずれ明かしは第一選択以外のものだから。）

A→A（変えないケース：当たり）
A→B（変えたケース：はずれ）
A→C（選ぶ事ができない）

B→A（変えたケース：当たり）
B→B（変えないケース：はずれ）
B→C（選ぶ事ができない）

C→A（ありえない）
C→B（ありえない）
C→C（ありえない）

やっぱり1/2だと思ってしまう。。。。素人なんです。理解できないんです。

つまり、二つあるはずれのうち一つが明かされた時点で
C→A
B→A
のケース（可能性）のいずれかがなくなりますよね。
C、あるいはBを選んでいなかった。
って事が明かされたわけですから。

＞55 あっきーさん
モンティ・ホールのジレンマについて

>あなたが一つのドアを選んだ後、第三者が残った２つのうち”ハズレ”のドアを
>開けて見せたとします」
よくよく考えてみると、この「第三者」の立場がくせものなわけですね。

「第三者」が「あなた」と同じ「ギャンブラー」であって（アタリの情報を知らない）、
「第三者」がたまたま”ハズレ”のドアを開いた状況下では、
（注意：この場合、「第三者」が”アタリ”を引いて、ゲームが成り立たなくなる可能性もある！）
残りのドアにどちらかに"アタリ”が入っている確率は等しいので
我々の直感、＞53-54のかべぎわさんの主張が正しいことになります。

しかし「第三者」がアタリの情報を正確に知っていて、ギャンブラーにハズレのドアを一個
開いてみせたとすると（「モンティ・ホール」での仮定はこれですよね？）
ギャンブラーが次の一回に、どちらかを選ぶギャンブルが必ず成立し
＞55であっきーさんがまとめた状況になる。
（しかし、ギャンブルの前提を知っていても、確かに直感には反しますね）

＞56 とらさん
すみません、経済学わからないのでろくにコメントできないですが、
そういうものなんですか？
ちと調べてみよう。
雇用者とリーマンの関係は「円満関係」をどう定義するかですね。

＞57 かべぎわさん
そういう風に、基本に返って素直に考えてみる態度が重要ですね。
私はどうもそういうことをサボってしまう傾向にあり、
しかも権威に流される傾向があるようです。
日々気をつけよう。

>>57
第一選択でＣを選ぶ場合もありえますよ。
そのとき、第三者はＢを空けるわけです。

>>59
この問題では、第三者は当たりの箱を知っているという前提ですね。
知らない場合だと、別の確率になりますね。

>>56とらさん
うーん。前提の需要と供給のバランスが取れた状態がわかんないや。
価格で調整されるので、常にバランスは取れているようなイメージが・・・。

解説ありがとう！第三者はギャンブラーじゃなかったのね！

＜�@箱を変えるという方針のもとゲームを行う＞
×を1個選べば「必ず」もう一つの×も消える→必然的に○を選択
最初に×を選ぶ確率＝○が選ばれずに残る確率＝2/3＝賞金を得る確率

＜�A箱を変えない方針のもとゲームを行う＞
最初に○を選ぶ確率＝1/3＝賞金を得る確率

＜�B箱を変えるかどうか決めずにゲームを行う＞
○を選ぶ確率＝1/2＝賞金を得る確率

ルールが同じでドアの数が３以上の時にはどうなんでしょ？

すごーい！　リーマン板て面白いスレがたつのね。
　あやも勉強しよーっと

俺もやっと判った。
みんなが苦労して、分かり安くなってから読む私は卑怯者です。
みなさんご苦労さまでした。

松浦あやさんの本物も来ているみたいですし、
>>56とらさんの話は、完全競争下の需給曲線が均衡価格で一致するっていう
ヤツじゃないよな・・・
ゴメン完全に違いますね。
俺もたまには難しげなことを書いてみたいのよ。許してチョ。

>ルールが同じでドアの数が３以上の時にはどうなんでしょ？

箱の数　　：Ｎ
ハズレの箱を空ける第三者の数　　：Ｋ

箱を変えない場合　　１／Ｎ
箱を変える場合　　（Ｋ＋１）／Ｎ

となるのではないでしょうか。
　　

中田ガウス

亀レスです。あっきー様、御回答有難う御座いました。全然知らなかったです。
あっきー氏の問題は面白い問題ですね。
　この問題は｢問題の前提条件を考えさせる問題｣という点で非常にイイ問題だと
思います。かべぎわ氏とAstor氏の本問への肉薄の仕方は良い勉強になりました。
　箱見せ係が、｢　�@こちらが選んだ箱は開かない　�A必ずハズレの箱を開く　｣
　というルールで動いてることを確実な情報として掴んでいるならば、
1〕 既に私が当りを選んでる場合(確率1/3)、
　　　選択を変更すると、絶対外れるから、当る確率は0
2)最初はハズレを掴んでいる場合(確率2/3)
　　　選択を変更して、未公開のドアにすれば必ず当るから当る確率は1
　1),2)より、選択を変更して当る確率は
　　　(1/3)×0＋(2/3)×1＝2/3
　てなところが”答案”でしょうか？
　でも、なんとなくしっくり来ないことも事実ですね。

>ルールが同じでドアの数が３以上の時にはどうなんでしょ？
　あっきー氏に従って、
箱の数　：Ｎ
ハズレの箱を空ける第三者の数　：Ｋ
と表記しますと、上記と同様にして、
　(1/N)×0＋{(N−1)/N}×{1/(N−K−1)}＝{(N−1)/N}×{1/(N−K−1)}　---(※)
　　　　　　　　　　　　　　　　　［　{(N-1)÷N}×{1÷(N−K−1)}のこと　］
　　　が求める確率となり、上式の(N−1)/Nが補正乗数とでも言うべき量になるの
　　だと思います。
　　　当然、Nが大きくなれば補正項(N−1)/Nは1に近づきますから、選択を変更
　しようがしまいが、大した差はありません。くどくど言うと、N>>>K>1の条件下では
　上式は1/(N−K)にほぼ等しくなります。
　奇妙なことに、3ではなくて、Nにした方が心理的にも受け入れ易いです。

全箱数Nが大きくても、ハズレ箱を開ける個数KがNと同程度の大きさの場合はどうか？
　例えば、N＝100,K＝98　の場合は、(※)式に代入すると、
　　変更した時に当る確率＝(99/100)×(1/1)＝0.99
　となり、変更した方が圧倒的に有利(的中率99％!)ということになります。
またしても、首を傾げたくなりますが。今、目の前には箱が2個だけ残っていて
そのどちらかがアタリなのは確実ゆえ、選択変更してハズレを引いちゃう確率は
最初にアタリを引いてた確率(1％)に等しいことに思い至れば納得が行くかと
思われます。
　イイ問題だったなあ。

ま、私もこれを機に少しだけファイナンスていうのをかじって見ました。
話題も思弁(＝speculation＝投機)も分散した方がリスクヘッジになると
思います。言葉の用法を誤ってたらゴメンナサイです。
　前にもチョコッと書きましたが、商取引によってモノだけでなくイメージの
流通も生じるというのはスゴーク重要だと思います。これ無しには近代科学つうか
近代そのものが誕生しなかったでしょう。それはそれとして、映画版ハリポタの
主人公て、のび太に似てませんか？　“メガネくん”のイメージって万国共通？
　では、また。

前レス69及び70の訂正及び補足：
　　�@レス69で｢Nが大きくなれば｣は、｢NがK(>＝1)より遥かに大きい場合は｣と
　　　　訂正しておきます。
　　�Aレス70の
　　>全箱数Nが大きくても、ハズレ箱を開ける個数KもNと同程度の大きさの場合
　　に蛇足ながら注釈付けときます：
　　　この場合は補正乗数項(N−1)/Nの効果は無視出来るのですが、第2項の
　　分母N−K−1　の”−1”の効果が大きい訳です。