算数・数学を教えるプロのためのスレ

四則演算に代表される基礎基本から、
代数・幾何・解析学まで幅広くカバー。

知っているようで知らない。分かっているようで分かっていない。
教える側の立場の人間の資質向上を目的とするスレなり。

まずは簡単な例を。

算数ができるかできないかはかけ算の意味をどう理解しているかにかかっています。
かけ算は小学校2年生で学びますが、たいてい九九は暗記させられます。
しかし、九九は暗記しても構いませんが、かけ算の意味が分からないとその後必ず挫折します。

つまり、そのような子は6×5の計算ができても、5匹のアリの足の総数は分からないのです。
本来ならば、学校の先生がきちんとかけ算の意味を教えてやるべきなのですが、
小学校教員はたいてい算数の「さ」の字も知らないのが現実です。

ボクは厨坊ですが分数の計算が完全にできません。それは分数の割り算のとき
割られるほうの分数を逆数にしてから掛け算する理由がわからないからです。
その疑問を抱いたときからボクの算数の頭脳はフリーズしてしまいました。
>>1の先生教えてください。

そもそも「割り算」というものは存在しないんですよ。
便宜上割り算といってるだけで、あれは掛け算の一種なんです。

>>3
http://www.tcn.zaq.ne.jp/sheepman/omake.htm
http://sheepman.parfait.ne.jp/wiki/%CA%AC%BF%F4%A4%CE%B3%E4%A4%EA%BB%BB/
ここら辺を参考にしてね。
4の言うとおり、割り算はかけ算から生まれたもので、全く同じ計算なんだよ。
割り算のひっ算をするとき、やってるのは掛け算と引き算の繰り返しだろう？

こういう豆知識も教師は教えてやるべきなんだと思うのです。

簡単にたいていとかいうな

悲しいことに、現実は計算方法の丸暗記・公式の丸暗記が多いようです。

少なくとも、3×5=3+3+3+3+3であることくらい知っておかねば、必ず挫折します。
三角形の面積を求める公式を忘れてしまう大人もいます。
それは、公式を丸暗記しているからです。
三角形を操作して四角形に変形してから面積を求める経験をしていれば、
公式なんか覚えなくても面積は導き出せるのに・・・。

ロピタルの定理、
０／０は高校レベルの知識でも
高校で求められる程度の証明は楽だが、
∞／∞のケースって…、
やっぱロルの定理？

高２までは数学得意だったのに一気にできなくなった…原因を考えたら自分が単にバカなんだと分かった。バカで〜す･∀･

>>8
∞／∞のケースもロピタルを少し変形するだけでできたと記憶していますが。

>>9
高2と高3の違いは大まかに有限か無限かの違いしかありません。
一気にできなくなったのは、高2までをきちんと理解していないか、
無限というものの考え方の理解が不足しているかのどちらかでしょう。

>>10
分母分子を∞で割ることになるのだが。

>>11
http://www.h5.dion.ne.jp/~antibody/lopital.htm
このように証明するようですね。

数学を教える立場にある人たちは最低限の数学的知識を持っていたほうがいいと思います。
例えば、高校までは一貫してユークリッド幾何しか学びませんが、
教育者は非ユークリッドまで知っている必要があると思うのです。
なぜなら、この宇宙が非ユークリッドである可能性のほうが高いのですから。

結局、誰もボク（>>3)の疑問に答えられないみたいですね。
これからはプロっていうのをやめてください。家庭教師のハシクレって名乗ってください。

>>14
こらこら。>>5にURL貼ったんだからちゃんと見てきなさい。
ていうか君は学校行きなさいよ。

>>12
それだと、分母分子を∞で割っている。
同じ値とは言え、分母分子を無限で割るのって、
気持ち悪くない？

>>16
1/h で　ｈ→∞と考えたらどうでしょうか。
無限ではなく、ｈで割って無限に近づけると。

一時期、「分数のできない大学生」というのが話題に上りました。
私が思うに、大学生の大部分が分数を理解していないでしょう。

彼らにとっては、例えば、2/3 + 3/4 の計算はできたとしても、
a/b + c/d の計算はできないといった事態が発生します。
ですから、彼らが家庭教師・塾講師をしたとしても、
算数の基礎・基本を教えられるとは到底思えません。

誰よりもまず、教育者が基礎・基本を理解すべきです。

(計算は当然だけど、その前に)数学はすべてイメージだと思う
イメージだと自然と新しい公式も浮かんだり、発見、認識もする。
一部の暗記するやり方は、すべての可能性(発展)を失う。

別に、始まりは暗記してもいいんだけど、
それを、なぜ適用するか、どう適用するかを
自分で考えない生徒は伸びない。

極端なのが証明問題。
何をしたら証明したことになるか、
どんなへなちょこ教師も、
これだけは外さずに教える。

そこを聞かないで、手順だけを写す生徒は
まず伸びない。

俺が高校のときは、なんとなくでしか公式覚えてなかったけどな

公式に至る過程を理解して（公立だったけど、ちゃんと教えてくれたよ）、それを記憶にとどめる方が
結果的には楽だと思うぞ。
公式をど忘れしても自分で公式までたどり着けるし、２次試験レベルの問題も公式だけじゃ解けないし

要は、どれだけ深く公式を理解してるかだと思うよ
公式うんぬんって言ってる奴は、単なる勉強不足っぽい

丸いケーキがあったげな。三人でわけるには３等分すればいいんだそうだ。
360°だからぜったい３等分できるんだって。ふしぎだな〜。

だれか答えられる能力あるまとも教師いる？

>>22
適当な定点に釘を打ち、釘を固定する。
釘に片方の端が小さなワッカになった紐をとりつける、一定速度で360ﾟ回転させる。
その際、紐が通った場所の軌跡を描くと円盤（の表面）が描かれる。
360ﾟ回転するまでにかかった時間をｓとすると、面積はｓの関数ｓｒで表される（ｒは定数）
ここでこの面積ｓｒを1/3にするには最初の状態からs/3経過した時点で回転を止めればよい。
紐が回転する速度は一定なので、s/3だけ時間が経過したときには紐は120ﾟ回転している。
よって円形（360ﾟ）をしたケーキを3等分するためには一つあたり120ﾟの角度で切ればよい。

>>22
いろんな数で割り切れるように
約数をたくさん持つ数を
１回転の度数に採用しただけ。

かつて同様の理由で、
６０進法を採用した文明もあった。

数学の質問と言うより、歴史の質問だな。

>>22
何を意図しているのか、どのような回答を期待しているのかが明確でない。
次のうちのどれですか？

１．任意の円が与えられたとき、その中心の位置を確定させ、
　中心角を３等分して、円を合同な３つの扇形に分割するという
　作図を、コンパスと定規ですることができるかどうかが
　分からないので教えて欲しい。
２．ケーキをきっちり３等分することのできる道具と方法が
　実際にあるかどうかを知りたい。
３．円を３等分することは原理的に可能であるが、実際問題として
　ナイフで切ってケーキを３等分するなどということが可能か？
　できんだろう？　所詮数学なんて机上の計算だけで、身近な
　問題は解決できない役立たずの学問なんだよ！　と言いたい。

１であれば優しく論理的に教えてくれる人はたくさんいると思うので、
丁寧に質問し直すことを勧めます。２であれば質問する相手が違います。
３であれば、せいぜいいくつかのレスを読んでせせら笑っててください
（クズのすることですが）。

もし１であることがわかったら、僕なりの回答をします。

興ざめにつき終了ですかね。

まだまだ終了させませんよ。
>>22
ちょっと問題の意味が曖昧ですね。

近年の子供に欠けているもの、それは数学の実用性の実感ではないでしょうか。
よく聞かれるのは「数学なんて日常生活で使わない」という類の言葉です。
ですから私たち大人は数学が実用的であることを示すために、
まず私たち自身が日常生活で数学を使ってみせるというのはどうでしょうか？

例）書類のコピーを何枚か作りたい。
今コンビニに、一枚10円で複製できるコピー機がある。
一方、事務所に行けば原版が40円で作れて、
複製が一枚0.7円で作れる。
問.　どちらの方が安上がりか

中学2年の確率で、LOTO６の1等が当たる確率は？という授業をしたいなと考えてたんだけど、この場合 6/43×5/42…ってやるじゃないですか。でも先輩教師に「どうしてかけなきゃいけないのか説明できるの？」と言われて手詰まりに…誰か教えていただけませんでしょうか？

例)
原因が有って。結果が出る物。はすべて数学に結びつかないか？
太陽が出て沈む。月　日　。時間と空間と重力とエメルギー(簡単に言えば時間と場所)

>>28
高校の時、学んだ組み合わせCを思い出しましょう。
43までの数字を一列に6個並べるのは
43×42×41×40×39×38通りです。
でも、これはこの順番でなくてはいけないので、どの順でもいいのなら
組み合わせになります。全組み合わせは
43×42×41×40×39×38を　6×5×4×3×2×1通りで割ったものです。
従って、確率は(43×42×41×40×39×38)/(6×5×4×3×2×1)分の1
になります。かけ算になるのは、何通りかということを考えると納得できるでしょう。

>>29
＞原因が有って。結果が出る物。はすべて数学に結びつかないか？
これらは一種の写像（関数）として考えられますね。

しかし、実際に子供にそれを言っても、ちんぷんかんぷんですよね。
中学生でも２次関数までしか理解できないでしょう。
ましてや小学生が理解する関数は比例くらいのものです。
まずは自動販売機が関数であることに気づくところからでしょうか。

>>30 プロ市民さんありがとうございます。高校数学を知る人なら問題ないんですが… 子ども達はＣを知らないんですよ。中学ではＰやＣを教えないので…そういう状況で教えるにはどうすればいいのかずっと考えてます。よきアドバイスがあればお願いします。

一番初めに物を使って覚える。
実態として1,2、は何か(例、鉛筆1本2本)　イメージが付かなかったらその後は続かないだろな

2＋2　が判って　2×2　が判らない子もいるし

>>32
PやCの仕組みは教えても構わないと思います。
記号を使わなければいいだけであって、順番に並べるのは何通りで、
組み合わせは何通りになりますね。そして重複が何通りですという風に。
中学で仕組みを知っておけば、高校での導入がすんなりいきますよね。

>>33
そうですね。数字を得体の知れないものと感じては続かないでしょう。
2＋2：＝2×2
2＋2＋2：＝2×3
これは、子供だけじゃなく大人（教師）も分かってないのではないかと危惧しています。

>>36
[:]ってなに？
高校卒業して30年。完全に忘れまちた。

見にくいな
「：」ならどうか

「:=」は定義という記号。
大学以上でしか使わない。
大学でも、基礎研究、特に代数系が
好んで使うイメージがあるな。

矢印を使う記号や、単に「def」と断って
等号を使うことも多い。

>>22 の代わりに >>25 の言うところの「１」の立場に立って
聞きたいんだけど、コンパスと定規だけで円の中心を見つけて
中心角を三等分する方法ってどんなのがあるの？
当然コンパスは距離を測るのと円（弧）を描くだけ、
定規は線をひくだけに使うとして。

>>39
ありがとうございます。

>>40
よく覚えていなくて申し訳ないのですが、
角の三等分はコンパスと定規だけではできなかったような気がします。
ユークリッド幾何の難題の一つではなかったでしょうか。

>>42
拡大体の問題

>>37-39
すみません。勝手に記号を使ってしまいました。
（：＝）（def）は定義という意味で使用しました。
ちなみに2×2：＝2＋2、 2×3：＝ 2＋2＋2ですよね。
左右逆でした。大した差はないですけど。

そういえば、よく「どうしてこういう定義になるのかわからない」って
子供は言いますよね。定義は約束事だから、そういうものだと教えるしかないのでしょうか。
例えば、「速さ：＝距離÷時間」が典型的な定義の例です。
皆さんは↑をどのように教えますか。

定義なら　:= ではなく⇔　を使ったほうが良くない？

>>44
掛け算は足し算、割算は引き算、ってとこですか。
それなら知ってたもん。

>>40
http://www.ies.co.jp/chugaku/zukei/zukei1_demo/applets/angtrisecj/angtrisecj.html
これを応用して何とかなりませんか。私の知能では分かりません。

>>45
⇔は同値（必要十分条件）で使用しますよね。
：＝　ってあまり気に入らないですか。＝だけにしたほうがいいかな。

>47
定義ですから同値で言い訳です。
：＝　って計算機代数の場合なにも断らずＡ：＝Ｂと書くと
ＢをＡに代入と言う意味になります。やじるしの向き
はＡ←Ｂで一方通行です。
：＝は同値または定義の意味として使う場合はわざわざ断らないと
いけない記号です。

言い訳　じゃなくって良い訳です。
ｽﾝﾏｿ

>>14
群・環・体の講義して欲しいの？

>>48
そこら辺のところ、私を含め多くの人が曖昧ですよね。
もしかして、数学の世界ではきっちりと決まっているのですか？
それとも慣習として人によっては違う使い方をするもんですか？

>>44
速さ＝距離÷時間　は、定義じゃないと思うけど・・・
速さって、単位時間あたりに進む距離（時速だったら１時間あたりというこ
と）だから、まさに等分除じゃないの？

>>52
Def
距離を時間で割った値を速さと定義する

という言い方は自然だと思うよ。

あえて定義という言葉を使うなら、
「１時間に進む距離を時速とする」は定義といえるかもしれないが、
（瞬間か平均かということはとりあえずおいといて）

速さ＝距離÷時間　は、それを求めるための公式だと思うのですが・・・

>>54
>速さ＝距離÷時間　は、それを求めるための公式だと思うのですが・・・

定義式とは言えない？

>>40　考えてみました。やってみてください。
コンパスと定規による、線分の垂直二等分線の描き方は既知のものとします。
円に対して、まず定規で弦ABを引きます。それをBの側に延長し、
BA=BA'となるような点A'をとります。線分AA'の垂直二等分線と
円の交点をCとします。点Bは線分AA'の中点なので、∠ABCは弦AC
の円周角となります。∠ABC=90°であるから、円周角の定理より
弦ACは直径となります。直径ACの垂直二等分線と直径ACの交点が
円の中心Oです。
次に円の半径（=OC）をコンパスで測って、点Cを中心として弧を描き、
円との交点をD,Eとします。OD=OE=CD=CE=OC（=半径）であるから、
△OCDと△OCEは正三角形となります。∠COD=∠COE=60°であるから、
∠AOD=∠AOE=∠DOE=120°となります。
よって、半径OA,OD,OEにより円の中心角は三等分されました。

他のやり方もあると思います。どなたか考えてみて下さい。

ここに　http://kanto.machi.to/bbs/read.pl?BBS=tokyo&KEY=1076059069
下のAAを一番多く貼った人の勝ち

　　　　　＿＿＿＿＿
　 　／ 　　　　　　　ゝ
　　/　　 　　　　　　　ゝ
　 /　／ 　∨∨∨∨＼
　｜/　　　　　　　　　｜　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　(6　　　　 ´　　っ｀　｜　　／
　 ｜　　　　＿＿＿　｜　　　＜ちゃーん（まじ、すまんかった）
　　 ＼　　　＼＿/　／　　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿　
　　　　＼＿＿＿／
　　　　/　　 　 ヽ 　　
　　　〈 （ ゜　　゜) 〉
　　　 ヽｌ　　 ,　ｌﾉ
　　 ('ヽ(　⌒Ｙ　)つ
　　　 ヽ､____人__ノ

亀レスだが

>>32
樹形図書け。

>>56
そもそも問題が違うとおもいますが。
角の三等分線の問題とはそのような問題では無いはずです。

56です。
>>59
いや。>>22や>>40は、いわゆる「角の三等分線の問題」ではなく、
「円を三等分する問題」として問いかけていると思います。
ちゃんと関係するカキコは読んでください。

たしかに>>42の言うとおり、コンパスと定規だけでは角の三等分は
できないというふうに私も記憶していますが。

>>60
本当だｽﾝﾏｿﾝ

球の3分割はどうだ？
厨房には無理か

すまん。簡単だった。

数学サークルを参考までに
http://www.infosnow.ne.jp/~watamasa/

めでたく終了したんですね。

どなたか魔方陣の数学的な解法をご存知の方はいらっしゃいますか？？
参考までに魔方陣とは、縦横３マス（計９マス）に１〜９までの数字を
使って縦３列、横３列、斜め２列の和を等しくするものです。
縦と横の桝目が等しければ全て可能らしいですが・・・

>>66
中央値を０にして、行・列ごとの対称性に注目するぐらいかな？
それ以上は群論が必要っぽい気がする。

>>66
一例ですけど、行と列が奇数で正方形の場合、解法があります。
３×３の場合なら、まず、上段中央に１を書きます。
ここから基本的に右上に進みながら増えていきます。
しかし、右上がない場合は右上に行ってから一番下に下がります。
右上も右上の下もない場合は、右上に行ってから
一番左に行きます。右上が数字ならば下へ下がります。
以下説明は省略しますが、こうなります。
もちろん、上下左右対称にしてもオッケーです。

８１６
３５７
４９２

5×5の場合

17 24　1　8　15
23　5　7　14 16
4　6　13 20 22
101219　21　3
1118 25　2　9

>>67 群論なるものは知りませんが、基本的に解法はないのですね。
　　 速レスどもです。
>>68 以前newtonで奇数方陣の法則はあるが、偶数はないとか見ました・・・
　 　ちなみに現在６×６で苦戦中です。速レスどもです。

上のほうにあった角の3等分は、任意の角についてはできません。
でも30度は簡単に作図できるんだから（正三角形を二等分）当然30度の整数倍はできます。
120度なんて正三角形を２つかくだけでしょ？

こんなのはどう？
http://www5b.biglobe.ne.jp/~suugaku/0021.htm

age

高校のとき、物理の等加速度運動のめんどくさい公式が微分積分であっという間に導けることを自力でﾊｹｰﾝしてかなり感動した。こういう感動が得られる授業を。

>>74
試行錯誤の結果、自分で発見するからこそ
感動もあるし面白いと思われ。
数学は何かが分かった瞬間、世界に触れた気がして
目の前が明るくなるね。ものの見方が増えるんだよ。

学校の授業でも、微積が変化する対象を調べる
方法だということぐらいは習うが、
基本的なこと意外は、自分で学ぶのがいい。

高校生ぐらいだったら、dy/dxという表現の意味や、
なぜ置換積分できるか…そういったことを
じっくり考えることこそが重要かと。

なぜ一次変換とか微分方程式をなくしてしまったんだろう。
運動解析や化学平衡を丸暗記させることの意味がわからん。
せめて理科は微積分を使って欲しい。
小学校・・・数の四則計算
中学校・・・文字式に拡張
高校・・・・微積分に拡張
でいいと思うが。
要するに、中学の内容が薄すぎるんだな。

微積が高校で定着しないかというと
小中でしっかりと関数の概念を教えていないから。
それさえあれば計算自体は面倒なだけの単純計算だから
（それこそ公文式で小学生にでもできる）
そんなに難しいものでもない。

>>77
というより、

教える側や教科書の問題点として、
立式などに代表される事象の抽象化や
平面図形の証明（難しいものでなく、何が仮定で何が結論か、
何をしたら証明したことになるのかなど、基本的なこと）を
あまりにも軽視しているということ。

学ぶ側の問題点として、抽象的なことを考えたり、
辛抱強く考えたりすることをしなくなったこと。
答えを出すことに価値をおきすぎるあまり、
方程式や定理・法則の意味を軽視すること

などが深刻な原因となる。

>>78
概ね同意。
ただ、>>77の言うところの関数の概念の教育も大事かと。
関数が何かも考えずにただ公式当てはめるだけの学生がどれだけいるか。

俺厨房ですけど最近ちょっと疑問に思ったことがあるんだけど。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　１
例えば５÷３のときとかってなんで５×＿みたいにひっくり返してかけるの？　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　３

自信は無いけど，５÷３を５/３と表したほうが複雑な計算のとき紛れが少ない
のとおなじでは，

ごめんスレ違いで!高校数学の教科書で一番よく使われてる出版社名あるいはオススメの出版社名教えて下さい

>>82
数研出版

またまたスレ違いでごめん!旺文社の｢中学数学解法事典｣知ってる人いますか? あれはどうなんでしょ?良書なのか意見聞きたいです

水道方式っていまだにやってるんでつか？

>>81さん

「5÷3＝○」
というのは言い換えれば
「5＝○×3となるような○はなに？」
ってことだよね。

で、両辺に1/3をかけます。すると、
「5×1/3＝○×3×1/3となるような○はなに？」
という文章と同じになります。計算すると、
「5×1/3＝○となるような○はなに？」
という文章と一緒になります。

んなもんで、両辺を同じ数をかける、というところがあるからじゃないかな？
そこんところで、分母と分子、ひっくり返したことになるんかも。
考え方の一つだけど。

>>80さん
すまん、間違えた、80さんだ。

3×5＝3+3+3+3+3
と言う教え方では小数の乗法をやるときに、わからなくなるぞ！
と遠山先生の本に載っていまつた。

今、小数の乗法と速度は、学校でどちらを先にやりまつか？

完全に話が逸れるけど、数学者のイニシャルでＡ〜Ｚまで揃えられる？
A…アーベル(Abel)
B…ベルヌーイ（スペル忘れた）
C…コーシー(Cauchy)

……誰か教えて下さいm(_ _)m

質問スレとの２重投稿になることをお許し下さい。

高校の数学の先生で、プリントで授業をしている先生、
もしおられましたら、使っているプリントを見せて頂けませんか？
そのまま使ったりはしないことをお約束しますのでどうかお願いします。
[email protected]

また、「基礎解析」「代数幾何」があった頃の
チャート・解法と演習の「数学�T」「基礎解析」「代数幾何」「微分積分」「確率統計」
と青チャートの数学�T・基礎チャートの数学�Tを探しています。
お持ちの先生、おられましたらお売り頂けないでしょうか。

算数は数学じゃなくて量の学問

>>90
メールでリンクを送ったよ。

>>90
そのへんのチャート、ときどきヤフオクで売られてるのを見るよ

「量の４段階指導」ってどんな指導のことですか？
さっぱりわかりません。プロのみなさん教えてください！！

(1)直接比較　(2)間接比較　(3)任意単位による測定　(4)普遍単位

とは違うの？詳しい人に指導キボーン。

漏れはプロじゃないよ。

>>９５
ありがとうございます！多分そのことだと思います。
今日、学習指導要領の算数をみたらのってました。
このことくらいしか考えられないので、これでいいと思います。
助かりました♪

NHK４年の算数教室のビデオが
http://www.nhk.or.jp/sansu4/ja/frame.html
にある。

age