【Battle】 ブレイクダンス専用スレ12 【Show】
>>307
お前の考えは判るが、一つの手としては被積分関数をx^n*exp(-x)/(1-exp(-xp))と変形し、
exp(-x)/(1-exp(-x))を初項、公比とともにexp(-x)の無限等比級数の和だとみなして無限等比級数に展開する。
(x=0のところだとこうは考えられないがここを除いても 積分の結果には影響しないので無視してよい。)
すると被積分関数は ∑[k=1,∞]x^n*exp(-kx)となるので、求める積分は∫[0,∞]∑[k=1,∞]x^n*exp(-kx)dx となる。
次に無限和と積分の順序を交換する。(それが出来るのは単調収束定理から)∑[k=1,∞]∫[0,∞]x^n*exp(-kx)dx となる。
中の積分を計算するとこれはГ(ｎ+1)/k^(n+1)となるので
∑[k=1,∞]∫[0,∞]x^n*exp(-kx)dx=Г(n+1)∑[k=1,∞]1/k^(n+1)Г(n+1)ζ(n+1) となる。
ついでにいうとζ(2)=π^2/6 ζ(4)=π^4/90でζ(3)は上のような形では掛けないので近似値でも求めるしかない
お前の考えは判るが、一つの手としては被積分関数をx^n*exp(-x)/(1-exp(-xp))と変形し、
exp(-x)/(1-exp(-x))を初項、公比とともにexp(-x)の無限等比級数の和だとみなして無限等比級数に展開する。
(x=0のところだとこうは考えられないがここを除いても 積分の結果には影響しないので無視してよい。)
すると被積分関数は ∑[k=1,∞]x^n*exp(-kx)となるので、求める積分は∫[0,∞]∑[k=1,∞]x^n*exp(-kx)dx となる。
次に無限和と積分の順序を交換する。(それが出来るのは単調収束定理から)∑[k=1,∞]∫[0,∞]x^n*exp(-kx)dx となる。
中の積分を計算するとこれはГ(ｎ+1)/k^(n+1)となるので
∑[k=1,∞]∫[0,∞]x^n*exp(-kx)dx=Г(n+1)∑[k=1,∞]1/k^(n+1)Г(n+1)ζ(n+1) となる。
ついでにいうとζ(2)=π^2/6 ζ(4)=π^4/90でζ(3)は上のような形では掛けないので近似値でも求めるしかない
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