あふがにすタン

問題4 f(x) = arctan xに対して、f^{(n)}(x)をn次導関数とする。
　　　関数P_{n}(x)を、f^{(n+1)}(x) = P_{n}(x)/(x^2+1)^{n+1}なる式により定める。
　　　n≧2なる自然数に対して、方程式P_{n}(x)=0はn個の異なる実数解を持ち、且つそれらの解を数直線上に並べると、
　　　P_{n}(x)=0のn個の解は、P_{n-1}(x)=0の(n-1)個の解により分離されることを証明せよ。
問題5 S_n(x) = \sum_{k=1}^{n} arctan[ x/(1+k(k+1)x^2) ] (x>0)とおくとき、\lim_{n \to \infty} S_n(x)を求めよ。
問題6 D={(x,y)|0≦x-y≦1,0≦x+y≦1}とするとき　\int_D (x^2-y^2)arctan(x+y)dxdy を求めよ。