数学の問題解こうぜ

某所で拾ってきた問題。御暇ならどうぞ。

[1]
次の条件を満たす函数 f(x)を求めよ。
ここで n は 0 でないある整数の定数である。
　(1) 実数値全体で（ 1 回）微分可能
　(2) 0 でない任意の実数 x に対して x^n f’(x) = f(x)
　(3) f(1) = 1

[2]
数列 {a_n} を
a_0 = a,
a_{n+1} = sin(a_n)
で定める。
lim_{n → ∞} (√n)a_n = √3 を示せ。

ヒントというかアドバイス

[1]は論理的トラップあり。
真面目に場合分けすると大変だけどどの場合も解があるはず。
両方とも数 III の微分あたりまでの知識で解けるはず。
ただ[2]は大学一年生の実数論、微分（つまり微分積分の前半）
くらいまでの知識があった方が無難。

私文だけど普通にでできたわ
理系(笑)ってこの程度で文系見下してるの？ワロスwwwwwwwwwwwww

答えは分からないが、メタルギアソリッドが神ゲーであるということだけは分かった

某所って自分の課題だろｗ

f(x)=exp[{x^(1-n)-1}/(1-n)]
わがんね

こんなん分かったって社会に出てから役にたたねえんだよ！

別に分からねえからこんなこと言ってるわけじゃねえぞ！

一見難しそうに見えて、知ってれば楽勝問題だなこれ

>>3
別に見下してないが。

出来たなら解答投下してちょ。

>>6
多分違う。というか場合分けとかが出てくるので
面倒だったら n = 2 のときだけでも。

500年ぶりに数学の問題といたけど、全然わがんね。

[1]誤答例
　log(|f(x)|)’ = f’(x)/f(x) = x^(-n)だから
　log(|f(x)|) = (1 - n)x^(1 - n) + C.
　f(x) = Kexp[(-n + 1)x^(-n + 1)].
　f(1) = 1 より（以下略）

n が 2 以上のとき f(0)の値が存在しない。

>>10
これ東大や京大の入試問題よりは難しいからね。

せめてもう少し難しい問題出せよ・・・

全然わからないな。微分とか忘れたし

>>3>>13
いや誰も解けてないじゃんｗ

>>8
(log f)’ = f’/f ってのは一般常識。
[1]を解く上では知ってて当然の知識。

課題くらい自分でやれよ、つまんね。

さっきから3時間くらい考えてるけど、やっぱりわかんね。
いつネタばれするの？

答え出なかったときは何時ネタバレしようかなあ、
まあ昼くらいまでには。

>>16
いや細かい学科名書くと所属ばれそうだけど
俺生命科学系の学科の三年だから何かの課題じゃないぞ。

n=1のときf(x)=x
n≠1のときf(x)=exp[x^(1-n)/(1-n)]
って出た

生命科学(笑)

答え分かったところで課題の答えを教えてやりたくないだけだってことにいい加減気付け

素直に数学板とかで聞けよ

あ、ごめん>>11ミスった

[1]誤答例
　log(|f(x)|)’ = f’(x)/f(x) = x^(-n)だから
　log(|f(x)|) = x^(1 - n)/(1 - n) + C.
　f(x) = Kexp[x^(-n + 1)/(1 - n)].
　f(1) = 1 より（以下略）

n が 2 以上のとき f(0)の値が存在しない

なんかものすごいヒントになっちゃうけど

>>19
例えば n = 2 のとき、f(x) = e^(-1/x) = 1/e^(1/x)だけど、
f(0)は何になるの？
f(-1/n) = e^nになるよね。だからlim_{ x → -0 } f(x) = + ∞、
一方lim_{ x → +0 } f(x) = lim_{ x → +∞} e^(-x) = 0。

つまり x = 0 では微分可能じゃない（というか連続じゃない）よね、これ。

>>20
>>8で解いた解答はちゃんと n で場合分けした？
たぶんマトモに解けてないだろ。
原点で発散してる解答を答えちゃってると思うぞ。

>>20>>21
いや俺答え知ってるし。

調べたら、某所が見つかってﾜﾛﾀｗ

[1]はちょっと前のログにあるよｗ

[1]
n＝1のとき　f(x) = x
n≧2のとき　解なし
n≦-1のとき　f(x) = exp((x^(1-n)-1)/(1-n))

でFA?
ちなみに東大生でつ(´･ω･`)

＞n≧2のとき　解なし
No

ちゃんと解があります。

なんかスレが閑散としてきたので出血大サービスでヒント。

[1]は n ＞ 2 のとき、普通にやると途中で x = 0 のときに
成り立たないような議論が出てくるはず。
x ＜ 0 の場合、 x ＞ 0 の場合と x = 0 の場合で場合を分けて議論する。

[2]は n(a_n)^2 → 3 と同値だけど、これを示すために、
3/(a_n)^2 が大体 1 ずつ増えていくことを示す。
sin^2(x)のTaylor展開の 6 乗の項まで使って評価します。

[1]
場合を分けて、というか領域を分けて議論して、
x = 0でも連続かつ微分可能になるように繋ぎ合わせるってことね。

対数とって積分

>>31
>>15>>22

n=1のときf(x)=x

n>1のときf(x)=exp(1/(1-n) (x^(1-n)-1)) (x>0)
f(0)=0
f(x)=Cexp(1/(1-n) x^(1-n)) (x<0) Cは任意の定数

n<0のときf(x)=exp(1/(1-n) (x^(1-n)-1)) (x≠0)
f(0)=0

かな？

>>33
n が 2 以上の奇数のときと偶数のときで場合分け。

解答

[1]
仮に f ＞ 0 と仮定して計算すると [log f(x)]’ = f’/f = x^(-n)、
n ≠ 1 のとき log f(x) = x^(1-n)/(1-n) + C、 f(x) = K・exp[(x^(1-n))/(1-n)] となる。
f の符号に関する仮定を置かず
g(x) = f(x)/exp[(x^(1-n))/(1-n)] とすると
区間(-∞, 0)及び(0, +∞) で g’(x) = 0 が分かる。
つまり区間(0, +∞)で f(x) = K_1 exp[(x^(1-n))/(1-n)]、
区間(-∞, 0)で f(x) = K_2 exp[(x^(1-n))/(1-n)]、
f(1) = 1 より K_1 = exp(-1/(1-n))、(0, +∞)でf(x) = exp[(x^(1-n) - 1)/(1-n)]。

・Case Ｉ. n ＜ 1 のとき
lim_{ x → +0 } f(x) = lim_{ x → -0 } f(x) だから K_1 = K_2、 f は連続だから
　∴ f(x) = exp[(x^(1-n) - 1)/(1-n)] (if x ≠ 0)。

・Case II. n = 1 のとき
　同様にして f(x) = x。

（つづき）

・Case III. n ＞ 1 のとき lim_{ x → +0 } f(x) = 0。
よってf(0) = 0 でなければならない。

・・Case IIIa.　n が偶数 ＞ 1 のとき
このとき K_2 ≠ 0 ならば lim_{ x → -0 } f(x) は発散する。
よって K_2 = 0 、(-∞, 0)で f(x) = 0 であることが必要で、このとき
lim_{x → +0} (f(x) - f(0))/x = lim_{x → +0} K・(1/x)exp[-(1/(n-1))(1/x)^(n-1)] = 0
よって原点で微分可能。
　∴ f(x) = 0 (if x ≦ 0),
　　　f(x) = exp[(x^(1-n) - 1)/(1-n)] (if x ＞ 0).

・・Case IIIa.　n が奇数 ＞ 1 のとき
このとき lim_{ x → -0 } f(x) = 0 、
lim_{x → 0} (f(x) - f(0))/x = 0だから原点で微分可能。
　∴ f(x) = K・exp[(x^(1-n))/(1-n)] (if x ＜ 0),
　　　f(0) = 0,
　　　f(x) = exp[(x^(1-n) - 1)/(1-n)] (if x ＞ 0)、ここで K は任意の定数。

>>35のCase I. の最後の x ≠ 0 は無しで。

頭痛い

あ、ミスった

下の方はCase IIIbだ。まあいいや。

n>1かつnが奇数のときf(x)=exp(1/(1-n) (x^(1-n)-1)) (x>0)
f(0)=0
f(x)=Cexp(1/(1-n) x^(1-n)) (x<0) Cは任意の定数

n>1かつnが偶数のときf(x)=exp(1/(1-n) (x^(1-n)-1)) (x>0)
f(x)=0 (x≦0)

今度こそあってるか？

>>39
yes

頑張りましたｗ

これ入試問題に出しても多分ほぼ誰も完答出来ない。

もう答えが来てたか。

で、結局どこの問題なのですか？

要するにどういうことですか？

数�UBまでしかやってないんですが、グラフになるんですよね。
Y=ax^2+bx+cみたいな。

　[1]
　次の条件を満たす函数 f(x)を求めよ。
というから、てっきり答えは、
　F(x)=ax^2+bx+c
だと思ってました。
a=
b=
c=
で答えるような。

次の条件を満たす函数 実数値全体で 微分可能 を求めよ
でぐぐったら、3番目にでてきたよ

>>43
多項式になるとはかぎらないよ。
指数関数や三角関数になる可能性だってあるんだから。