みんなの雑談 １０

とまあ、解くこと自体は簡単だし特に面白くもない。
面白いのは、むしろ >>713の問題文そのものである。

問題文は

>ある分数の値を求めよ。
>ただしその分数とは、分子が１である。
>また、分母は、その分数自体に１を加えたものである。

と言っているので、この分数の値をもう一度 Ｘ と置くと、それは以下のように書ける。

Ｘ＝１／（１＋１／（１＋１／（１＋１／（１＋・・・・・・・・・））））　　--- Eq.3

ただし 「・・・・・・・・・」の部分は、同じ操作を無限回くりかえす。

１行の式で書くとよくわからないが、Wikipedia の「分数」の説明の中で、
「繁分数」を示す式が載っていて、その式の中で a0=0、それ以外の a と b を
すべて１と置いた式と同じ。こういう形をしている。

・・・間違えました。「繁分数」ではなく「連分数」です。

Eq.3 が、もし有限回で打ち切られているとすると、一番最後の括弧の中は
（１＋１／（１＋１））となっていて、これは （１＋１／２） と等しいから、
通分すると （１＋１／２）＝３／２ となる。
同様に、順番に通分していくと、最後はひとつの分数になって、分子も分母も
整数になる。つまり、Ｘの値は「有理数」である。

しかし、Eq.3が無限回続いていると、>>721氏の答のとおり、Ｘの値は「無理数」となる。

また、問題文の３行目が

>また、分母は、その分数自体を１から引いたものである。

となっていると、やはり有限回操作では Ｘは「有理数」になるが、無限回続くと、
解くべき二次方程式は Ｘ^2 −Ｘ＋１＝０ となり、その解は

Ｘ＝ （１ 土 i√３ ）/ ２

つまり「複素数」となる。

これは要するに、演算規則が同じでも、有限回の演算と無限回の演算とでは
結果が本質的に異なることの例である。ただしそれだけなら、円周率を級数で
求める公式では各項は有理数だが無限和をとると π/4 つまり無理数になる、
など、他にも例がある。

>>713の問題にはもっと深い意味があって、関数

f(x)＝１／（１＋ｘ）

を定義すると、>>713の題意に合う方程式は f(x)=x となる。

ということは、当然 f(f(x))=x であるし、 f(f(f(x)))=x であるし、
以下同様に f(f(f(・・・f(x)・・・)))=x が成り立つ。
これは自己相似性を持つ方程式であり、一種の「フラクタル」である。


・・・疲れたので続きはまた明日。