民主党ですが仏教です

goodには、「相当な、かなりの」という意味があります。griefは、「悲しみ、悲嘆、苦悩」といった意味であり、sadnessより深刻な感じがする語です。

She is in grief after her husband's death.
彼女は夫の死以来悲しみに暮れている。

Good grief!は決まり文句であり、シリアスな悲しみの色はありません。とはいえ、Oh, my God.に似てはいても、やはり違いはあります。
Oh, my God.は、良くないことに対してだけでなく、例えば賞をもらって感激するなど、突然の出来事に喜ぶときにも使える表現。
しかし、Good grief!は、単なる驚きではなく、あきれているとき、嫌だ思うときなど、ネガティブな場面に使われる表現です。

たとえば、1999年12月14日、新聞各紙の日曜版への最後の掲載をもって、Peanutsが長い連載を迎えたとき、アメリカではこんな見出しが踊りました。

Good Grief! Charlie Brown Says So Long
なんてこと！チャーリーブラウンさよならを言う