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匿名であろうと掲示板の書き込み内容が著作物といえるのであれば著作権はあります。
著作権法１９条１項は、「著作者は（中略）その実名若しくは変名を著作者名として表示し、
又は著作者名を表示しないこととする権利を有する。」と定めています。
したがって書き込み内容に著作権があるかどうかは匿名かどうかではなく、
あくまでも書き込まれた内容が著作物
（思想又は感情を創作的に表現したものであって、文芸、学術、美術又は音楽の範囲の属するものをいう。著作権法２条１項１号）
といえるかどうかの問題になります。
なお、匿名の場合、著作権法１４条の著作者の推定がされませんので、
著作者が実際にその著作物を創作したことを立証する必要があります。